Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Letzte Woche hat Herr Merz mit Ihnen ja das Konzept des Quotientenraums besprochen.

Das heißt also, wie fasse ich Objekte zu einem neuen Objekt zusammen,

wenn mich nur ein Teil seiner Eigenschaften interessieren?

Und das ist typischerweise nicht besonders beliebt.

Deswegen haben wir es jetzt auch im zweiten Semester verlegt, weil es immer als etwas abstrakt gilt,

obwohl es eigentlich eine recht naheliegende Konstruktion ist.

Wenn ich mich halt nur für Äpfel interessiere, dann nehme ich halt die grünen, die roten und die blauen Äpfel alle in eine Kiste.

Und ähnlich ist es mit dem Dualraum in den unseren endlich dimensionalen Räumen.

Von der Darstellung her, wie wir gesehen haben, sind die Dualräume so viel was anderes nicht.

Wenn wir einen KN haben, ist der Dualraum im Wesentlichen wieder der KN.

Nur, dass wir sozusagen aus einer Spalte eine Zeile machen, aber die Interpretation ist was ganz anderes.

Während typischerweise ein Element aus einem Vektoraum eben ein Objekt ist, zum Beispiel ein Vektor aus was auch immer,

was lässt sich den addieren, Massen zum Beispiel, Vektor aus Massen, ist ein Dualraum-Element eine Aktion.

Und das wollen wir jetzt diese Gedanken noch ein bisschen weiter treiben.

Und indem wir, wir haben also gesehen, zu einer Basis können wir die duale Basis, einen Dualraum bilden.

Die duale Basis beschreibt gerade die Freiheitsgrade, die in der Basis codiert ist des Raumes.

Deswegen ist die duale Basis, zum Beispiel, wenn wir, das war ja der Inhalt eines der letzten Beispiele,

wenn wir zum Beispiel sowas wie die Stückweise konstanten Funktionen, die Treppenfunktionen hernehmen

oder die linearen Funktionen oder auch den Polynomraum mit den Lagrangian Basisfunktionen,

also Basisfunktionen, die genau an einer Stelle 1 sind und an anderen Freiheitsgraden 0 sind,

sind die zugehörigen Dualbasiselemente einfach die Auswertungsfunktionale,

die zeigen einfach den Freiheitsgrad, nämlich den Wert an dieser Stützstelle.

Während auf der anderen Seite sozusagen die normale Polynomraum-Basis, nämlich die aus den Monomen,

die hat einen anderen Charakter, da ist dann eher alles an einer Stelle konzentriert.

Das heißt also da sind dann die zugehörigen Dualraumbasiselemente sowas wie die Ithen-Ableitungen

geteilt durch die Ithen-Fakultät. Das heißt also alles bezieht sich auf eine Stelle

und versucht da alle Informationen zu versammeln.

Ein neuer Begriff, den wir uns jetzt anschauen wollen, ist der Begriff der dualen Abbildung.

Die Grundsituation ist also die folgende. Wir haben, also erstmal wieder, das könnte man jetzt auch

im unendlich Dimensionalen formulieren, also die Endlich-Dimensionalität spielt hier bei der Definition

auch keine Rolle. Wir haben also K-Vector-Räume, wir haben eine lineare Abbildung Phi von V nach W

und wir definieren jetzt die duale Abbildung zwischen den Dualräumen W-Stern und V-Stern.

Das heißt also eine Abbildung, die in die andere Richtung geht. Sowas ist uns schon mal passiert.

Also an was erinnert das, wenn man jetzt mal in eine konkretere Situation denkt, wo wir auch eine unitäre

Struktur haben. Da haben wir auch eben Abbildung oder Matrizen von einem Raum V in W

und was wäre dort die Konstruktion, die gerade in die andere Richtung läuft, bei Vorliegen einer unitären Struktur?

Die transponierte bzw. die adjungierte im Allgemeinen. Und wir werden auch sehen, dass diese duale Abbildung

sehr viel mit der adjungierten zu tun hat, natürlich unter der Voraussetzung, dass es eine unitäre Struktur gibt.

Die Definition ist erstmal ganz schlicht. Wir machen folgendes, wir nehmen ein Element Phi aus dem W-Stern,

also eine Linearform auf W und bilden folgende Komposition, Klein Phi Kringel Groß Phi.

Das heißt also erst wird der Ausgangsromomorphismus ausgeführt und dann wird nochmal die Linearform

sozusagen der Freiheitsgrad hinterher geschickt. Und insgesamt entsteht durch die Komposition

wieder eine lineare Abbildung mit Werten im Skalaren Körper, das heißt ein Element aus V-Stern.

Oder anders ausgedrückt, wir führen diese Abbildung gerade so ein, dass das hier aufgezeigte Diagramm

kommutativ ist. Gehe erst mit Groß Phi von V nach W und dann gehe mit der Linearform in den Skalaren Körper.

Das wird zusammengefasst zu Phi-Stern von Klein Phi. Okay, das ist erstmal die Definition.

Ja, jetzt kann man natürlich die Abstraktion weiter treiben und ich habe da Verständnis dafür, wenn jetzt Sie sagen,

oh Gott, oh Gott, was sind das für Begriffe? Aber daran liegt natürlich auch ein bisschen die Stärke der Mathematik,

dass sie bedingungslos ihre Abstraktion auch weiter treiben kann. Wenn ich den Dualraum eines Raums anschauen kann,